Corrigé Suite récurrente (classique)

mathématiques
corrigé
Suite récurrente, Étude de fonction, Étude de suite, Limite d’une suite, f(l)=l, tableau de signe, tableau de variation, dérivée
Auteur·rice

Prepalib

Date de publication

29 novembre 2022

L’énoncé

  1. Soit f la fonction définie par \(f(x) = \ln \frac{e^x - 1}{x}\) et \(g\) celle définie par \(g(x) = \ln \frac{1 - e^{-x}}{x}\). Étudier les variations de f et g.

  2. On considère la suite \((u_n)\) définie par: \(u_0 > 0\) et la relation \(u_{n+1} = f(u_n)\) pour \(n \geq 0\).

  1. Montrer que \(\forall n \in \mathbb{N}, u_n > 0\).

  2. Étudier les variations de \(u_n\) et ne déduire qu’elle converge.

  1. Montrer que la limite de \(u_n\) est 0. On peut raisonner par l’absurde.

La correction

  1. \(f(x)\) existe si et seulement si \(\frac{e^x - 1}{x} > 0\).Si \(x > 0\), \(e^x > 1\), donc \(\frac{e^x - 1}{x} > 0\), si \(x < 0\), \(e^x < 1\), donc \(\frac{e^x - 1}{x} > 0\).

f est définie sur \(D_f = \mathbb{R^*}\). Soit \(h: x \rightarrow \frac{e^x - 1}{x}, h\) est dérivable sur \(D_f\) car c’est un rapport de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.

De plus \(h(x)>0\) sur \(D_f\), donc \(ln \quad o \quad h = f\) est dérivable sur \(D_f\). \(\forall x\in D_f, f'(x)= \frac{\frac{e^x\cdot x- (e^x - 1)}{x^2}}{\frac{e^x-1}{x}} = \frac{xe^x - e^x +1}{x(e^x - 1)}\).

Comme \(x\) et \(e^x - 1\) sont de même signe, \(x(e^x-1)\) est donc strictement positive sur \(R^*\), et \(f'(x)\) est du signe de \(\phi(x) = x\cdot e^x - e^x + 1\)\(\forall x \in \mathbb{R}, \phi'(x) = x\cdot e^x + e^x - e^x = x \cdot e^x\). Ainsi, \(\forall x \in \mathbb{R^*}, \phi(x) > 0\), donc \(\forall \in x \mathbb{R^*}, f'(x) > 0\).

Remarquons que f est prolongeable par continuité en 0 : \(\frac{e^x - 1}{x}\) a pour limite 1 en 0, donc, f a pour limite \(\ln 1 = 0\) car \(\ln\) est continue en 1.

Le prolongement par continuité de f en 0 est strictement croissant sur \(\mathbb{R}\) et s’annule en 0, donc \(f(x) > 0\) si \(x > 0\) et \(f(x) < 0\) si \(x < 0\).

Étude de g : \(g(x)\) existe si et seulement si \(\frac{1-e^{-x}}{x} > 0\). \(\forall x \in \mathbb{R^*}, \frac{1-e^x}{x} = e^{-x}(\frac{e^x}- 1{x})\). \(e^{-x}\) étant \(>0\) sur \(\mathbb{R}\), \(\frac{1-e^x}{x}\) a le même signe que \(\frac{e^x - 1}{x}\). Par suite, \(D_g = D_f\). On montre la dérivabilité de g comme on a montré celle de f. \(\forall x \in \mathbb{R^*}, g'(x) = \frac{x \cdot e^{-x} + e^{-x} - 1}{x(1-e^{-x})}\).

Remarquons que : \(\forall x \in \mathbb{R^*}, g'(x) = \frac{--x \cdot e^{-x} - e^{-x} + 1}{x(1-e^{-x})}\), ce qui s’écrit aussi : \(-\frac{- x \cdot e^{-x} - e^{-x} + 1}{-x \cdot (e ^{-x} - 1) }\).

Sous cette forme, on reconnaît \(-f'(x)\). \(f'\) étant \(>0\) sur \(\mathbb{R}^*\) \(\forall x \in \mathbb{R^*}, g'(x)<0\).g est aussi prolongeable par continuité en 0 : en écrivant \(g(x) = \ln(e^{-x}(\frac{e^x - 1}{x})) = - x + f(x)\), on constate que \(\underset{x \to 0}\lim g(x) = 0\).Le prolongement par continuité de g en 0 est strictement décroissant sur R, et s’annule en 0, donc \(g(x) > 0\) si \(x < 0\) et \(g(x)< 0\) si \(x > 0\).

“Tableau de variation”

  1. Raisonnons par récurrence- \(u_0\) d’après l’énoncé- Supposons que, pour un quelqueconque rang n, \(u_n > 0\), alors \(f(u_n)\), i.e, \(u_{n+1}\) est > 0, d’après l’étude des variations de f. DOnc \(\forall n \in \mathbb{N}, u_n > 0\).

  2. Soit \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n = \ln \frac{e^{u_n} - 1}{u_n} - u_n\), \(f(u_n) - u_n = \ln \frac{e^{u_n} - 1}{u_n} - \ln e^{u_n} = \ln \frac{(e^{u_n} - 1)}{u_n \cdot e^{u_n}} = \ln \frac{1 - e^{-u_n}}{u_n}\).\(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} - u_n = g(u_n)\), \(u_n\) étant \(>0\), \(g(u_n) < 0\). \((u_n)\) est décroissante, minorée par 0, \((u_n) converge\), sa limite est positive.

  1. Supposons \(l > 0\). f étant continue sur \(\mathbb{R_+^*}\), f est continue en l, donc l est solution de l’équation \(l = f(l)\) puisque \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} \geq f(u_n)\).Pour \(l > 0\), \(l = f(l)\) s’écrit \(f(l) - l = 0\), i.e. \(\ln \frac{e^l - 1}{l} = l\), ou encore \(\ln \frac{e^l - 1}{l} - \ln e^l =0\), soit \(\ln \frac{e^l - 1}{e^l l} = 0\), ce qui donne \(\ln \frac{1-e^{-l}}{l} = 0\). Ce qui revient à dire : \(g(l) = 0\). Mais, si \(l > 0\), \(g(l) < 0\), d’après l’étude de g, on ne peut pas avoir \(g(l) = l\). Donc \(l = 0\).