Corrigé Suite implicite (classique)

mathématiques
corrigé
Suite implicite, étude de fonction, convergence, majoration, équivalents, logarithme, passage à l’exponentielle, f_n(x_n)
Auteur·rice

Prepalib

Date de publication

29 novembre 2022

L’énoncé

  1. Montrer que l’équation : \(\forall n \in \mathbb{N^*}, x^n + x - 1 = 0\), d’inconnue \(x > 0\), admet une unique solution, notée \(x_n\).

Tableau de variation

  1. Comparer \(x_n\) et \(x_{n+1}\)

  2. Montrer que \((x_n)\) est majorée par 1.

  3. Montrer que la limite de \((x_n)\) ne peut pas être \(<1\).5) Conclure.

La correction

  1. Posons \(f(x) = x^n + x - 1\). \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R^*}\) comme somme de fonctions strictement croissantes. Le tableau de variation de \(f\) est le suivant :f est donc une bijection continue strictement monotone de \(]0,+\infty[\) sur \(]-1,+\infty[\).On conclut qu’il existe un unique réel \(x_n\) de l’intervalle \(]-1,+\infty[\).On conclut qu’il existe un unique réel \(x_n\) de l’intervalle de \(]0,+\infty[\) tel que \(f(x_n) = 0\), soit : \(x_n^n + x_n - 1 = 0\).

  2. Posons, \(f_n(x) = x^n + x - 1\). Donc :\(\forall n \in \mathbb{N^*}, f_{n+1}(x_n) - f_n(x_n) = x_n^{n+1} - x^n_n = x^ n_n(x_n - 1)\).Comme \(f_n(1) = 1 > 0\),  et que \(f_n\) est croissante, \(x_n > 0\).Donc : \(\forall_n \in \mathbb{N^*}, f_{n+1} - f_n(x)  < 0\). Donc, comme \(f_n\) est une bijection, on a : \(\forall n \in \mathbb{N}, x_{n+1} > x_n\).

  3. La suite \((x_n)\) est croissante et majorée par 1, donc elle converge.

  4. Soit \(l = \underset{n \to +\infty}\lim (x_n)\). D’après les questions précédentes, on sait que \(0 < l \leq 1\). De plus, en écrivant : \(x^n_n = e^{n\cdot \ln(x_n)} \underset{n \to +\infty}\sim 1 - \underset{n \to +\infty}\lim x_n = 1 - l\).Supposons que \(l < 1\). On peut alors écrire, en utilisant les équivalents, \(n \cdot \ln(x_n)\underset{+\infty}\to \ln(1 -l)\), soit \(n.\ln(x_n) \underset{n\to +\infty}\sim \ln(1-l)\).Donc cela voudrait dire que \(\ln(x_n) \underset{+\infty}\sim \frac{\ln(1-l)}{n} \underset{+\infty}\to 0\). Ce qui contredit le fait que \(l > 0\).

  5. Comme \(l \leq 1\) mais ne peut pas être strictement inférieur à \(1\), on conclut que \(\underset{n \to +\infty}\lim x_n = 1\).