Corrigé Suites adjacentes
L’énoncé
Pour \(n \geq 1\), soient les deux suites : \[u_{n}=\left(\sum_{p=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{p}}\right)-2 \sqrt{n+1} \quad \text{et} \quad v_{n}=\left(\sum_{p=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{p}}\right)-2 \sqrt{n}\]
Montrer que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes. On note \(l\) la valeur commune de leur limite.
Vérifier que \(\left|u_{n}-l\right| \leq \frac{1}{\sqrt{n}}\) et donner une valeur approchée de \(l\) à \(10^{-2}\) à l’aide de Python.3) Déterminer un équivalent en \(+\infty\) de \[S_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{p}}\]
La correction
- En premier lieu, comparons \((u_n)\) et \((v_n)\)On voit, par récurrence immédiate, que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont à termes positifs.
\[\begin{align*}\forall n \in \mathbb{N}^{*},v_n-u_n & = \left(\sum_{p=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{p}}\right)-2 \sqrt{n}-\left(\sum_{p=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{p}}\right)+2 \sqrt{n+1}\\\\forall n \in \mathbb{N}^{*}, v_n - u_n &=2\left(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\right) > 0.\end{align*}\]
On en déduit que \(v_n > u_n\).
Montrons que \(\lim _{n \rightarrow \infty}\left(v_{n}-u_{n}\right)=0\), que \(\left(u_{n}\right)\) est croissante, \(\left(v_{n}\right)\) décroissante.En utilisant les quantités conjuguées et le calcul précédent , on obtient : \[\begin{align*} \forall n \in \mathbb{N}^{*}, v_{n}-u_{n} & =2 \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} \\\forall n \in \mathbb{N}^{*}, v_n - u_n & = \frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\end{align*}\]
Donc, on voit immédiatement qu’en \(+\infty\), la limite de \(v_n - u_n\) vaut 0.Montrons que \((u_n)\) est croissante. \[\begin{align*}\forall n \in \mathbb{N}^{*}, u_{n+1}-u_{n} & = \left(\sum_{p=1}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{p}}\right)-2 \sqrt{n+2}-\left(\sum_{n=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{p}}\right)+2 \sqrt{n+1}\\\forall n \in \mathbb{N}^{*}, u_{n+1}-u_n & = \frac{1}{\sqrt{n+1}}-2\sqrt{n+2} + 2\sqrt{n+1}\end{align*}\]En utilisant les quantités conjuguées à nouveau, avec \(2(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})\), on obtient : \[\begin{align*}\forall n \in \mathbb{N}^*, u_{n+1}-u_{n} & =\frac{1}{\sqrt{n+1}}-2 \frac{(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1})(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}\\\forall n \in \mathbb{N}^{*}, u_{n+1}-u_{n}&=\frac{1}{\sqrt{n+1}}-2 \frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}\\\forall n \in \mathbb{N}^*, u_{n+1}-u_{n} & =\frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}-2 \sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1})}\\\forall n \in \mathbb{N}^*, u_{n+1}-u_{n}&=\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}} > 0.\end{align*}\]Donc \((u_n)\) est croissante. On montre de la même manière que \((v_n)\) est décroissante.\[\begin{align*}\forall n \in \mathbb{N}^*, v_{n+1} - v_{n}& = \frac{1}{\sqrt{n+1}} - 2\sqrt{n+1} + 2\sqrt{n}\\\forall n \in \mathbb{N}^*, v_{n+1} - v_{n} & = \frac{1}{\sqrt{n+1}} - 2\frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}\\\forall n \in \mathbb{N}^*, v_{n+1} - v_{n} & = \frac{1}{\sqrt{n+1}} - \frac{2}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}\\\forall n \in \mathbb{N}^*, v_{n+1} - v_{n}& = \frac{\sqrt{n} - \sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})} < 0.\end{align*}\]
Donc \((v_n)\) est décroissante.
\[\fbox{Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.}\]
- Comme les suites \(u_n\) et \(v_n\) sont adjacentes, on a :\[\begin{align*}\forall n \in \mathbb{N}^{*}&, u_n \leq l \leq v_n\\\iff \forall n \in \mathbb{N}^{*}&, 0 \leq l - u_n \leq v_n - u_n\\\end{align*}\]
En utilisant la question précédente, on trouve : \[\begin{align*}\forall n \in \mathbb{N}^{*}, |u_n-l| \leq \frac{2}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}} \end{align*}\]Comme \(\sqrt{n+1} + \sqrt{n} \geq 2\sqrt{n} \geq 0\), donc \(\frac{2}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \leq \frac{2}{2\sqrt{n}}\).
Ainsi :\[\fbox{$\forall n \in \mathbb{N}^*, |u_n-l| \leq \frac{1}{\sqrt{n}}$}\]
Pour trouver une valeur approchée de \(l\) à \(10^{-2}\), il faut que \(\frac{1}{\sqrt{n}}\leq10^{-2}\), donc que \(n \geq 10^4\)
Script Python : u = 1 for i in range(1, 10^4): u += 1(i) u -= 2*sqrt(i+1) print(‘l=’, u)
- \(\forall n \in \mathbb{N}^*, u_n = S_n - 2\sqrt{n+1}\) donc \(S_n = u_n + 2\sqrt{n+1}\). Ainsi :\(\forall n \in \mathbb{N}^*, \frac{S_n}{2\sqrt{n}} = \frac{u_n}{2\sqrt{n}} + \sqrt{\frac{n+1}{n}}\).
Comme \[\lim _{n \rightarrow \infty}u_n=0 \quad \text{et} \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{2\sqrt{n}}=0 \quad \text{donc} \quad \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{u_n}{2\sqrt{n}} = 0\]
De plus, \[ \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{n+1}{n}} = 1 \quad \text{donc} \quad \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{S_n}{2\sqrt{n}} = 1 \]
\[\fbox{$S_n \underset{+\infty}{\sim}2\sqrt{n}$} \]