Moyenne de Cesaro

mathématiques
corrigé
Moyenne de Césaro, Convergence de Césaro, Suites classiques, Limite d’une suite, Définition d’une limite, Somme, Inégalité triangulaire, Valeur absolue
Auteur·rice

Prepalib

Date de publication

29 novembre 2022

L’énoncé

Soit \((u_n)_{n\geq1}\) une suite. On appelle moyenne de Césaro de \((u_n)_{n\geq1}\), la suite \((v_n)_{n \geq 1}\) définie par \(v_n = \frac{u_1 + ... + u_n}{n}\), pour tout \(n \geq 1\). Le premier théorème de Césaro stipule : Si la suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N^*}}\) converge vers l; alors la suite \((v_n)_{n\geq 1}\) converge aussi vers l. L’objectif de cet exercice est de démontrer ce théorème.

  1. À l’aide de la définition de la limite d’une suite, appliquée à \((u_n)\), montrer que :\[|v_n-l| \leq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^p |u_k - l| + \sum_{k=p+1}^n |u_k - l|\] p est le rang à partir du quel la suite \((u_n)\) converge.

  2. En posant \[C = \sum_{k=1}^p |u_k - l| \] montrer que \(|v_n - l| \leq \epsilon\) à partir d’un certain rang.

La correction

  1. Soit \(\epsilon > 0\) fixé. La convergence de \((u_n)_{n \geq 1}\) implique qu’il existe un certain rang \(n_0\) tel que : \[ \forall n \geq n_0, |u_n - l| \leq \epsilon\]

    \[\begin{aligned}\forall n \in \mathbb{N^*}, v_{n}-l &=\frac{u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}}{n}-l, \\\forall n \in \mathbb{N^*},v_n-l&=\frac{u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n_0}+u_{n_0+1}+\cdots+u_{n}-n l}{n}, \\\forall n \in \mathbb{N^*},v_n-l &=\frac{\left(u_{1}-l\right)+\left(u_{2}-l\right)+\cdots+\left(u_{n_0}-l\right)+\left(u_{p+1}-l\right)+\cdots+\left(u_{n}-l\right)}{n}, \\\forall n \in \mathbb{N^*},v_n-l &=\frac{\left(u_{1}-l\right)+\left(u_{2}-l\right)+\cdots+\left(u_{p}-l\right)}{n}+\frac{\left(u_{p+1}-l\right)+\cdots+\left(u_{n}-l\right)}{n} .\end{aligned}\]

    D’après l’inégalité triangulaire : \[|v_n-l| \leq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^p |u_k - l| + \sum_{k=p+1}^n |u_k - l|\]

  2. On pose \[C = \sum_{k=1}^p |u_k - l| \].On va majorer le second terme de l’inégalité.\[ |v_n - l| \leq \frac{C}{n} + \sum_{k=p+1}^n |u_k - l| \leq \frac{C}{n} + \frac{(n-p+1) \cdot \epsilon}{n} \leq \frac{C}{n} \times \epsilon\], car \(\frac{n -p + 1}{n} < 1\)De plus, \(\underset{n \to +\infty}\lim \frac{C}{n} = 0\).Donc, à partir d’un certaing rang, on a bien : \(|v_n - l | \leq \epsilon\)