Moyenne de Cesaro
L’énoncé
Soit \((u_n)_{n\geq1}\) une suite. On appelle moyenne de Césaro de \((u_n)_{n\geq1}\), la suite \((v_n)_{n \geq 1}\) définie par \(v_n = \frac{u_1 + ... + u_n}{n}\), pour tout \(n \geq 1\). Le premier théorème de Césaro stipule : Si la suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N^*}}\) converge vers l; alors la suite \((v_n)_{n\geq 1}\) converge aussi vers l. L’objectif de cet exercice est de démontrer ce théorème.
À l’aide de la définition de la limite d’une suite, appliquée à \((u_n)\), montrer que :\[|v_n-l| \leq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^p |u_k - l| + \sum_{k=p+1}^n |u_k - l|\] p est le rang à partir du quel la suite \((u_n)\) converge.
En posant \[C = \sum_{k=1}^p |u_k - l| \] montrer que \(|v_n - l| \leq \epsilon\) à partir d’un certain rang.
La correction
Soit \(\epsilon > 0\) fixé. La convergence de \((u_n)_{n \geq 1}\) implique qu’il existe un certain rang \(n_0\) tel que : \[ \forall n \geq n_0, |u_n - l| \leq \epsilon\]
\[\begin{aligned}\forall n \in \mathbb{N^*}, v_{n}-l &=\frac{u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}}{n}-l, \\\forall n \in \mathbb{N^*},v_n-l&=\frac{u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n_0}+u_{n_0+1}+\cdots+u_{n}-n l}{n}, \\\forall n \in \mathbb{N^*},v_n-l &=\frac{\left(u_{1}-l\right)+\left(u_{2}-l\right)+\cdots+\left(u_{n_0}-l\right)+\left(u_{p+1}-l\right)+\cdots+\left(u_{n}-l\right)}{n}, \\\forall n \in \mathbb{N^*},v_n-l &=\frac{\left(u_{1}-l\right)+\left(u_{2}-l\right)+\cdots+\left(u_{p}-l\right)}{n}+\frac{\left(u_{p+1}-l\right)+\cdots+\left(u_{n}-l\right)}{n} .\end{aligned}\]D’après l’inégalité triangulaire : \[|v_n-l| \leq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^p |u_k - l| + \sum_{k=p+1}^n |u_k - l|\]
On pose \[C = \sum_{k=1}^p |u_k - l| \].On va majorer le second terme de l’inégalité.\[ |v_n - l| \leq \frac{C}{n} + \sum_{k=p+1}^n |u_k - l| \leq \frac{C}{n} + \frac{(n-p+1) \cdot \epsilon}{n} \leq \frac{C}{n} \times \epsilon\], car \(\frac{n -p + 1}{n} < 1\)De plus, \(\underset{n \to +\infty}\lim \frac{C}{n} = 0\).Donc, à partir d’un certaing rang, on a bien : \(|v_n - l | \leq \epsilon\)