Limite de \((1 + \frac{a}{n})^{n}\)

mathématiques
corrigé
Limite de suite classique
Auteur·rice

Prepalib

Date de publication

29 novembre 2022

L’énoncé

Déterminer la limite de \[\forall n \in \mathbb{N}, u_n = (1 + \frac{a}{n})^{n}, a \in \mathbb{R}^*\] quand n tend vers l’infini

La correction

Dans cette situation, il faut utiliser le passage à l’exponentielle. Rapellons \(e^{\ln(x)}= x\).\[ \forall n \in \mathbb{N}, u_n = e^{n \ln(1 + \frac{a}{n})} = e^{a \frac{\ln(1 +\frac{a}{n})}{\frac{a}{n}}}\]. Ici, on fait apparaître le \(\frac{a}{n}\) en multipliant en haut et en bas. Comme \(\frac{a}{n}\) tend vers zéro en \(+\infty\), on reconnaît l’équivalent classique \(\frac{ln(1 + \frac{a}{n})}{\frac{a}{n}} \underset{+\infty}\sim 1\). Donc, \[\lim_{n +\rightarrow \infty} u_n = e^{a} \].