Limite de \(\frac{a^n}{n!}\)

mathématiques
corrigé
Limite de suite classique
Auteur·rice

Prepalib

Date de publication

29 novembre 2022

L’énoncé

Déterminer la limite de la suite \(u_n = \frac{a^n}{n!}\) lors que n tend vers \(+\infty\)

La correction

Soit \([a]\) la partie entière de a. Pour \(n > [a] + 1\), on observe que \(u_n = \frac{a \times ... \times a}{n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot ([a] + 1)} \cdot \frac{a...a}{[a]!}\).

On remarque qu’à partir d’un certain rang ([a] +1), \(\frac{1}{n}, \frac{1}{n-1}, ..., \frac{1}{[a] +2 }\) sont tous inférieurs à \(\frac{1}{[a] +1}\), de sorte que \(0 \leq u_n \leq (\frac{a}{[a] + 1})^{n-[a]} \cdot \frac{a^{[a]}}{[a]!}\)

En posant \(q = \frac{a}{[a] + 1}\) et \(K = \frac{a^{[a]}}{[a]!}\), on obtient : \(0 \leq u_n \leq K \cdot q^{n-[a]} = K \cdot q^{-[a]} \cdot q^n = K' \cdot q^n\) en posant \(K' = K \cdot q^{[a]}\).

Comme \(0 < q < 1\), \(q^n \underset{n \to +\infty}\rightarrow 0\), ainsi : \[\frac{a^n}{n!} \underset{n \to +\infty}\rightarrow 0\]